لأجل عينك ..
15-07-2011, 03:54 AM
][ علم الرياضيات ][
تعريف الرياضيات:
تعرف الرياضيات على انها دراسة البنية، الفضاء، و التغير، و بشكل عام على انها دراسة البنى المجردة
باستخدام المنطق و التدوين الرياضي. و بشكل أكثر عمومية، تعرف الرياضيات على انها دراسة الاعداد
و انماطها. البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود اصلها إلى العلوم الطبيعية ،
و خاصة الفيزياء.
تاريخ الرياضيات:
كان الكتبة البابليون منذ 3000سنة يمارسون كتابة الأعداد وحساب الفوائد ولاسيما في الأعمال التجارية
ببابل. وكانت الأعداد والعمليات الحسابية تدون فوق ألواح الصلصال بقلم من البوص المدبب. ثم توضع في
الفرن لتجف. وكانوا يعرفون الجمع والKUVAJS,PROC JE TO VOBRACENE<ضرب والطرح والقسمة.
ولم يكونوا يستخدمون فيها النظام العشري المتبع حاليا مما زادها صعوبة حيث كانوا يتبعون النظام الستيني
الذي يتكون من 60 رمزا للدلالة علي الأعداد من 1-60. وطور قدماء المصريين هذا النظام في مسح
الأراضي بعد كل فيضان لتقدير الضرائب. كما كانوا يتبعون النظام العشري وهو العد بالآحاد والعشرات
والمئات. لكنهم لم يعرفوا الصفر. لهذا كانوا يكتبون 500بوضع 5رموز يعبر كل رمز علي 100.
3) الخوارزمى:
نشأته:
انتقلت عائلته من مدينة خوارزم في خراسان إلى بغداد في العراق، انجز الخوارزمي معظم ابحاثه بين
عامي 813 و 833 في دار الحكمة، التي أسسها الخليفة المأمون. و نشر اعماله باللغة العربية،
التي كانت لغة العلم في ذلك العصر. ويسميه الطبري في تاريخه: محمد بن موسى الخوارزمي
المجوسي القطربلّي ، نسبة إلى قرية قُطْربُلّ من ضواحي بغداد. اللقب مجوسي يتناقض مع بدء
الخوارزمي لكتابه (الجبر والمقابلة) بالبسملة. وتجمع الموسوعات العلمية -كالموسوعة البريطانية[1]
وموسوعة مايكروسوفت إنكارتا[2] وموسوعة جامعة كولومبيا[3] وغيرها[4]- على أنه عربي،
في حين تشير مراجع أخرى إلى كونه فارسي الأصل[5].
الخوارزمي كعالم الرياضيات:
ابتكر الخوارزمي مفهوم الخوارزمية في الرياضيات و علم الحاسوب، (مما اعطاه لقب ابي علم الحاسوب
عند البعض)، حتى ان كلمة خوارزمية في العديد من اللغات (و منها algorithm بالانكليزية)
اشتقت من اسمه، بالاضافة لذلك، قام الخوارزمي باعمال هامة في حقول الجبر و المثلثات
والفلك و الجغرافية و رسم الخرائط. ادت اعماله المنهجية و المنطقية في حل المعادلات من
الدرجة الثانية إلى نشوء علم الجبر، حتى ان العلم اخذ اسمه من كتابه حساب الجبر
و المقابلة، الذي نشره عام 830، و انتقلت هذه الكلمة إلى العديد من اللغات (Algebra في الانكليزية).
أعمال الخوارزمى:
اعمال الخوارزمي الكبيرة في مجال الرياضيات كانت نتيجة لابحاثه الخاصة، الا انه قد انجز الكثير في
تجميع و تطوير المعلومات التي كانت موجودة مسبقا عند الاغريق و في الهند، فاعطاها طابعه الخاص
من الالتزام بالمنطق. بفضل الخوارزمي، يستخدم العالم الاعداد العربية التي غيرت و بشكل جذري
مفهومنا عن الاعداد، كما انه قذ ادخل مفهوم العدد صفر، الذي بدأت فكرته في الهند.
صحح الخوارزمي ابحاث العالم الاغريقي بطليموس Ptolemy في الجغرافية، معتمدا على ابحاثه الخاصة.
كما انه قد اشرف على عمل 70 جغرافيا لانجاز أول خريطة للعالم المعروف آنذاك.و من أشهر كتبه في
الجغرافيا كتاب (صورة الأرض). عندما اصبحت ابحاثه معروفة في أوروبا بعد ترجمتها إلى اللاتينية، كان
لها دور كبير في تقدم العلم في الغرب، عرف كتابه الخاص بالجبر اوروبة بهذا العلم و اصبح الكتاب الذي
يدرس في الجامعات الاوروبية عن الرياضيات حتى القرن السادس عشر، كتب الخوارزمي ايضا عن الساعة،
الإسطرلاب، و الساعة الشمسية.
تعتبر انجازات الخوارزمي في الرياضيات عظيمة، و لعبت دورا كبيرا في تقدم الرياضيات
و العلوم التي تعتمد عليها.
بعض فروع الرياضيات:
1) المنطق الرياضى.
2) نظرية المجموعات (الفئات)
3) الجبر.
4) نظرية الاعداد.
5) نظرية الزمر.
6) تفاضل و تكامل.
7) التحليل التوافقى.
8) التحليل الدالى
9) علم المثلثات
10) المنطق الضبابى.
11)التبولوجيا.
12) الهندسة الجبرية.
13) السيبرنيتيك
14) ميكانيكا الموانع.
15) نظرية الالعلب.
16) علم الاحتمالات و الاحصائيات.
17) نظرية الشواش.
الكمية:
عدد – عدد طبيعي – عدد صحيح – عدد كسري – عدد حقيقي – عدد عقدي – عدد فوق عقدي
– كواتيرنيون – اوكتونيون – سيدينيون – عدد فوق حقيقي – عدد حقيقي فائق – عدد ترتيبي –
عدد كمي – عدد بي – متوالية صحيحة – ثابت رياضي – أسماء الأعداد – اللانهاية –
الأساس (رياضيات)
التغير:
الحساب – علم الحسبان – الحسبان الشعاعي – التحليل الرياضي – معادلات تفاضلية –
جمل متحركة – نظرية الشواش – قائمة الدوال ( التوابع )
البنية:
جبر تجريدي – نظرية الأعداد – هندسة جبرية – نظرية المجموعات – مونويد – التحليل الرياضي
– التوبولوجيا – الجبر الخطي – نظرية المخططات – الجبر الشامل – نظرية الزمر – نظرية الترتيب –
نظرية القياس
العلاقات الفراغية:
توبولوجيا – هندسة – علم المثلثات – هندسة جبرية – هندسة تفاضلية – تبولوجيا تفاضلية –
توبولوجيا جبرية – جبر خطي – هندسة كسيرية
الرياضيات المتقطعة:
التوافقيات – نظرية المجموعات المبسطة – نظرية الحوسبة– علم التعمية
رياضيات تطبيقية:
الميكانيك – تحليل عددي – استمثال رياضي – احتمال – احصاء – رياضيات اقتصادية –
نظرية الألعاب – البيولوجيا الرياضية – علم التعمية – نظرية المعلومات – ميكانيك السوائل .
المبرهنات و الحدسيات الهامة:
نظرية فيثاغورث – مبرهنة فيرما الأخيرة – حدسية غولدباخ – حدسية التوأمين الأولية –
مبرهنة عدم الإكتمال لغودل – حدسية بوانكاريه – قطر كانتور – مبرهنة الألوان الأربعة –
قضية زورن المساعدة – هوية اويلر – أطروحة تشرش-تورينغ
فرضية ريمان – فرضية الإستمرارية – P=NP – مبرهنة الحد المركزية – المبرهنة الأساسية في التكامل
– المبرهنة الأساسية في الجبر – المبرهنة الأساسية في الحساب –
المبرهنة الأساسية في الهندسة الإسقاطية – مبرهنات تصنيف السطوح – مبرهنة غاوس-بونيت.
انظمة العد:
نظام العد : هو طريقة تعامل الانسان مع رسوم الارقام للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية
عليها .وانظمة العد المستخدمة في العالم اليوم تتنوع بحسب مجال استخدامها.
نظام التشفير الثنائي العشري:
النظام الاوسع انتشارا هو النظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات
بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلا الرقم 6 يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية ،
وقد تم ابتداع الصفر في مرحلة متأخرة نسبيا عن ابتداع الارقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير
عن خلو هذه الخانة من القيمة .
الشيفرات العددية Numerical Codes نظام التشفير الثنائي العشري Binary Coded Decimal
عندما نستخدم نظام العد الثنائي للتعبير عن القيم العددية يتضح أمامنا مزايا ومساوئ هذا النظام
فمثلا من مزايا نظام العد الثنائي 1- يتألف من رقمين فقط هما ( 0-1 ) 2- العلاقة المكتشفة
مابين الصفر والواحد كأعداد ثنائية و الصفر و الواحد كقيمة منطقية أما من مساوئه
1- تمثيل الرقم العشري بالرقم الثنائي يمكن أن يكون من أربع أو خمس خانات بينما يكون الرقم العشري
مكونا من خانتين فقط
2- عملية التحويل بين الأعداد العشرية والثنائية لا تتصف بالسهولة وللتغلب على هذه السيئة نلجأ
في كثير من الأحيان باستخدام نظام التشفير الثنائي العشري و هو العنوان الأساسي لهذا الموضوع
نظام التشفير الثنائي العشري BCD نستخدم في هذا النظام من التشفير أربعة أرقام ثنائية لتمثيل
كل رقم عشري أي
0101 5 0000 0 0110 6 0001 1 0111 7 0010 2 1000 8 0011 3 1001 9 0100 4
وعندما نريد أن نمثل عدد مكون من أكثر من رقم عشري نستخدم لكل عدد عشري تشفيرة ثنائية
ABCD وكمثال على ذلك العدد العشري 5706 باستخدام الشيفرة BCD العدد العشري 6 0 7 5
تشفيرهBCD 0110 0000 0111 0101 begin_of_the_skype_highlighting 0110 0000 0111 0101 end_of_the_skype_highlighting الشيفرة 0101011100000110 العدد العشري 8 8 9 1
تشفيرهBCD 0111 0111 1001 0001 الشيفرة 0001100101110111 وعلى الرغم من سهولة
التحويل من عشري إلى ثنائي واستخلاص العدد العشري من تشفيره BCD إلا أن هناك مساوئ
لهذا النظام
1- صعوبة إجراء العمليات الحسابية
2- استخدام عشرة تركيبات فقط من التركيبات الممكن تشكيلها من أربعة أرقام ثنائية
العمليات على الأعداد المشفرة في نظام BCD الجمع : حيث يتم جمع هذا النوع من الأعداد كل رقمين
على حدة أي الرقم الأول من العددين المجموعين يضافان إلى بعضهما وكذلك الثاني والثالث والرابع وهي
عملية بسيطة وتعطي النتيجة الصحيحة بشكل مباشر وسريع إذا كان الناتج أقل من عشرة وكمثال على ذلك
3= 0011 5 = 0101
+ 4 = 0100 + 4 = 0100
7 = 0111 9 = 1001
أما إذا كان الناتج أكبر من العدد العشري (9 ) فإن النتيجة التي نحصل عليها غير مقبولة لأن نظام
التشفير هذا لا يسمح بالقيم من( 10 ) وحتى ( 15 ) ضمن ناتج كل مجموعة حسابية فإننا غي هذه
الحالة نضيف الرقم الستة العشري وهو ( 0110 ) إلى الناتج الغير مقبول فتؤدي عملية الجمع هذه
إلى توليد منقول من المرتبة الأعلى فنحصل على الجواب الصحيح في نظام التشفير المذكور
17 = 10001 9 = 1001
+ 6 = 0110 + 8 = 1000 (17)BCD = 10111 17 = 10001 بإضافة الرقم ستة تحول الناتج الغير
مقبول في نظام التشفير إلى ناتج صحيح ومقبول ناتج غير مقبول وغير متوفر في نظام التشفير BCD
وتسمى هذه الستة العشرية في نظام التشفير BCD بالستة التصحيحية وتنتج لدينا الآن القاعدة
الأساسية لجمع الأعداد العشرية المشفرة ثنائياً وهي :
1- إضافة العددين وكأنهما عددين ثنائيين عاديين
2- إذا كان الناتج مؤلف من أربع خانات ومنحصر بين الصفر والتسعة يكون الناتج صحيحاً وموجوداً في نظام
التشفير BCD 3- إذا كان الناتج مؤلف من أربع خانات وأكبر من العدد تسعة العشري فإننا نضيف العدد ستة
العشري لنحصل على الناتج الصحيح والموجود في نظام التشفير BCD 4- إذا كان الناتج مؤلف من خمس
خانات أي تولد لدينا منقول فإننا أيضاً نضيف العدد ستة العشري لنحصل على الناتج الصحيح والموجود في
نظام التشفير BCD الضرب : ويتم في هذا النظام ضرب العددين على التوالي كما في النظام العشري أي
كل رقم من أرقام المضروب يضرب بكل رقم من أرقام المضروب به وتشكل كل عملية ضرب ناتجاً جزئياً فنقوم
بجمع النواتج الجزئية لنحصل على الإجابة الصحيحة والمقبولة حصراً مع العلم أن ضرب الواحد بالصفر يساوي
الصفر وضرب الصفر بالصفر يساوي الصفر أما ضرب الواحد بالواحد فيساوي واحد ملاحظة إن عملية الضرب
لا تولد منقول حتماً وكمثال على ذلك المضروب 1110 المضروب به 101 ×
النواتج الجزئية 1110 0000 1110 begin_of_the_skype_highlighting 1110 0000 1110 end_of_the_skype_highlighting الناتج النهائي 1000110
إن تنفيذ عملية الضرب أمر سهل ويعتمد على البدء بالخانة الأقل مرتبة وعلى إزاحة النواتج الجزئية المتتالية
عن بعضها بمقدار خانة واحدة إلى اليسار كما توضح في المثال والقيام بعملية جمع النواتج الجزئية بشكل
صحيح ومن الممكن أن يكون عدد خانات الناتج أكبر من عدد خانات المضروب أو المضروب به بمقدار واحد
على الأكثر . القسمة : تعتبر عملية القسمة في النظام الثنائي أو نظام التشفير BCD أكثر سهولة من
عملية القسمة في النظام العشري فإننا في النظام الثنائي نبحث عن إمكانية تنزيل المقسوم عليه تحت
الخانات الثلاثة الأولى منت المقسوم فإذا كان ذلك غير ممكناً فإننا نقوم بتنزيل المقسوم عليه تحت الأربع
خانات الأولى ولسنا بحاجة لتقدير النتيجة فهي إما صفر أو واحد وتستمر عملية القسمة كما تستمر عملية
القسمة في النظام العشري وكمثال على ذلك الناتج النهائي 11101… المقسوم 10010011 المقسوم
عليه 101
استمرار عملية القسمة 1000 101 100 101 111 101 الباقي 10.
أنظمة عد قديمة:
كان لدى الرومان نظام عدّ يعتمد على رسم تتابع من الاشكال ، تعبر في مجموعها عن عدد ما وليس
فيها استخدام للخانات او الصفر ، انظر الاعداد الرومانية. ونجح الهنود والمايا بالوصول إلى تقييم الارقام تبعا
لمراكزها في الخانات وقام الهنود بإيجاد رسم معين لكل رقم مما مكنهم من القيام بعمليات حسابية كبيرة
استحالت على غيرهم.
ولكن الهنود لم يعرفوا الصفر في بداية نظامهم ، فكان يضطرون لوضع علامة لتمييز العدد 408 عن 48 مثلا،
وقاموا بشغل الفراغ الضروري للعمليات الرياضية بدائرة او نقطة و اطلقوا عليه اسم الفراغ او الثقب ورسموه
على شكل دائرة او نقطة. ويبدو ان العرب هم من اعطوا الصفر قيمة حسابيّة بالرغم من ان الهنود كانوا قد
استخدموه كشكل للتمييز ،وابقى العرب على رسمه الهندي ، واوضح الخوارزمي في كتاباته دور الصفر
في عمليات الجمع والطرح مثل 75-35 = 40 فقال :"في عمليات الطرح ، اذا لم يكن هناك باق ،
نضع صفرا ولا نترك المكان خاليا حتى لا يحدث لبس بين خانة الآحاد وخانة العشرات".ويضيف
"إن الصفر يجب ان يكون عن يمين الرقم ، لان الصفر على يسار الاثنين مثلا 02 لا يغير من قيمتها
ولا يجعل منها عشرين" ونلاحظ ان الشعوب التي اخذت النظام العربي المطور عن النظام الهندي
قد نقلو هذا النظام حرفيا في طريقة كتابته اي من اليمين إلى اليسار وبعضهم حتى نظام قرائتها
كالالمان مثلا.
ومن الانظمة التي استخدمت ايضا انظمة تعتمد على تقسيم الاعداد إلى منازل من ستين
واخرى من 12 ، ومن الموروث الحضاري لهذه الانظمة نظام الوقت ، الدقائق والساعات المستخدم .
ويبدوا ان البابلين استخدموا نظاما ستينيا في كتابة ارقامهم التي كانت على الشكلين V و > تعبيرا عن
الواحد والعشرة ، ورسموهم في مجموعات يعبر تتابعها عن ضرب كل مجموعة إلى بستين مرفوعة
لقوة مقدارها ترتيب المجموعة ابتداء من الصفر ، تماما كما في النظام العشري الذي ابدلت فيه الخانات
بالمجموعات .
فلسفة الرياضيات:
الواقعية الرياضية أو الإفلاطونية:
تعتبر الواقعية الرياضية الكائنات الرياضية ذات وجود مستقل عن العقل الإنساني.
لذلك فإن مهمة الإنسان هو استكشاف هذا العالم الرياضي وليس اختراعه،
كما إن أي كائن ذكي مفترض في هذا الكون قادر على استكشاف هذا العالم الرياضي و سبر أغواره.
يطلق على هذه المدرسة اسم الإفلاطونية باعتبارها تماثل وجهة نظر أفلاطون من حيث إيمانه بعالم
المثل والأفكار، الذي يمثل لديه العالم الكلي اللامتغير، وما العالم اليومي الذي نعيش فيه
إلا مقاربات غير مكتملة لهذا العالم المثالي.
من المحتمل أن جذور فكرة أفلاطون تأتي من عند فيثاغورس الذي كان يؤمن هو وتلاميذه من
الفيثاغورسيين أن العالم مكون حرفيا من الأعداد. وعلى ما يبدو فإن هذه النظرة ذات جذور أعمق
في التاريخ لا يمكن تحديد بدايتها .
يعتبر العديد من علماء الرياضيات واقعيين رياضيين ، فهم يعتبرون أنفسهم مكتشفين يتجولون لرؤية روائع هذا
العالم الرياضي و ليس مخترعين لها . أمثلة هؤلاء كثر : مثل باول ايردوس و كورت غودل و الفيزيائي
الرياضي روجر بنروز . السبب النفسي وراء هذا الإعتقاد أنه من الصعب القبول أن شخصا ما يشغل نفسه
لفترة طويلة من الزمن ما لم يكن مقتنعا فعلا بوجوده . يؤمن غودل بنوع من الواقع الرياضي الموضوعي
يمكن إدراكه بطريقة مشابهة لإدراك الحواس . بعض المبادئ يمكن ان تعتبر صحيحة مباشرة لكن بعض
الحدسيات conjecture مثل فرضية الإستمرار continuum hypothesis لا يمكن البت فيها استنادا لهذه
المبادئ . لذلك يقترح غودل منهجية شبه تجريبية quasi-empirical methodology يمكن أن تؤمن تأكيدا
كافيا لإفتراض هذه الحدسية conjecture .
المشكلة الأساسية في وجهة النظر لاواقعية للرياضيات:
هي أين و كيف تتواجد هذه الكائنات الرياضية ؟ هل هي في عالم كامل الانفصال عن عالمنا تسيطر عليه
الكائنات الرياضية ؟ كيف لنا أن نتواصل مع ذلك العالم ونستكشف حقائقه ؟ يقدم كلا من أفلاطون قديما
و غودل حديثا إجابات لهذه الأسئلة لكن هذه الإجابات لا تبدو مقنعة للكثيرين.
الشكلية:
تقوم المدرسة الشكلية على فكرة أنه من الممكن التفكير بالعبارات الرياضية على أنها نتائج لقواعد
معالجة المقولات الأولية. فمثلا، الهندسة الإقليدية تعتبر مؤلفة من مقولات تدعى البديهيات (axioms).
بالإضافة إلى بعض قواعد الدلالة التي تسمح باستنباط مقولات جديدة من المقولات الأولى المعطاة.
وبما أنك قادر على البرهنة على مبرهنة فيثاغورس وحدك، فهذا يعني أنك قادر فعلا على إنشاء المقولة
التي تمثل هذه المبرهنة.
وفقا لبعض مذاهب الشكلية، فإن مسألة الموضوع في الرياضيات هي حرفيا الرموز المكتوبة ذاتها. وعندها
تصبح القضية لعبا بهذه الرموز ولا يهم ما هي نوع اللعبة فجميع الألعاب متكافئة ويمكنك أن تلعب أي واحدة
تختار، لكن هذه الرؤية لا تعطي حلولا للأسئلة الجوهرية: ما هي هذه الرموز الرياضية ؟ هل توجد حقا في
عالم تخيلي غير متغير ؟ ولماذا هي مفيدة في شرح العالم الواقعي ؟ هذه النظرة تحول الرياضيات
إلى مجرد فعالية بشرية متفوقة لعبتها الرموز والأرقام لكنها لا تقدم حلولا لذلك لم تلق انتشارا كبيرا.
تقول مدرسة ثانية من الشكلية بالاستنتاجية (deductivism)، فمبرهنة فيثاغورس في هذه الحالة لا تعود
حقيقة مطلقة إنما حقيقة نسبية: إذا نسبت معنى و حقيقة للمقولات الرياضية بحيث تصبح قواعد اللعبة
صحيحة، عندئذ عليك قبول المبرهنة أو أن التفسير الذي تعطيه للمبرهنة يجب أن يكون عبارة صحيحة.
(أي أن صحة العبارات الرياضية مرتبطة بصحة البدهيات الأساسية بشرط اعتماد قواعد
"لعبة" تحفظ هذه الصحة).
سؤال يتكرر على كل الاوقات ويصدر عن مختلف الأجيال مع اختلاف مستويات ذكائهم
حتى العالية منها وهو:
لماذا نتعلم الرياضيات ؟!
نحن نتدرب على حل التمارين والمسائل ورسم الهندسة... أين يمكننا تطبيقها ؟
وأين نستخدمها في المنزل ، في الطريق ، في الحديقة ، عند اللعب ؟ ما فائدة كذا وكذا وكذا... ؟
إن تعلم الرياضيات في مرحلة مبكرة أمر هام ، والأهم منه معرفة الحاجة الملحة لتعلمها
في هذه المرحلة وكيفية الاستفادة منها وتطبيقها حتى تكون عونًا ومساعدًا للطالب في حل
كثير مما يصادفه من أمور ويمكنه من إيجاد تفسير لأسباب حدوثه.
فقد استخدم الإنسان علم الحساب منذ الحضارة القديمة كطريقة لعد وتدوين كميات و
أعداد الحيوانات والمواشي التي يملكها حفاظًا على ممتلكاته من السرقة أو الضياع.
ومن هنا عرف الإنسان الرياضيات وبدء بتطويرها على مر الزمان حتى أصبحت من أهم العلوم
التي لا غنى عنها في كثير من مجالات الحياة المختلفة التي من أبرزها الدراسات العلمية
والاكتشافات بأنواعها، وتصميم المشروعات الصناعية وإجراء المعاملات التجارية والأسهم والبنوك.
هذا بالإضافة لاستخدامها على مستوى الفرد في الحياة اليومية التي من أبسطها التعرف على الوقت
أو تسوية دفتر الشيكات، واستخدامها في الطبخ والقيادة والخياطة والبستنة، وفي العديد من الهوايات
والألعاب الرياضية. ولقد أدت الرياضيات دورًا أساسيًا في تطوير التقنية الحديثة التي جعلت حياتنا أكثر
سهولة وعملنا أكثر يسرًا.
إن على الآباء أن يهتموا بتعليم أبناءهم ذلك ويحثونهم على دراسة الرياضيات كمادة عملية لا كمادة نظرية
بحتة (يجب حفظ قوانينها وقواعدها فقط) ونرشدهم إلى الطريقة التي يطبقونها بها ليعتادوها منذ الصغر،
ولا يشعروا بتلك الغربة بينهم وبين هذا العلم.
[ عرض أمثلة حية مشاهدة من بيئة الطلبة المحيطة بهم ]
الأمثلة:-
محاور التناظر بنوعيها بالنسبة للأشكال .
- الأشكال الهندسية بأنواعها
: بإحضار أدوات ذات أشكال هندسية مختلفة أو صور لمبانٍ في مدينة توضح
كيفية استخدام المهندسين لها في البناء واستخدام الحرفيين لها في صناعة الأدوات المختلفة .
- رسم المستقيمات المتوازية والمتعامدة : عرض خريطة لمخطط الطرق في مدينة ما وكيف أنه اعتمد
المهندسون على استخدام رسم الخطوط المستقيمة المتوازية لتمثيل الطرق ومستقيمات عمودية عليها
بمسافات متساوية لتمثيل الطرق الفرعية المتقاطعة معها بشكل عمودي واستخدام كلمة طريق موازٍ
عند الوصف.
[ ذكر فوائد استخدام القاعدة الرياضية أو المهارة لحل مشكلة أرقت من سبقنا أو تحقيق فوز ما ]
الأمثلة :
- قوانين المساحة : بيان الفوائد المرجوة منها وأنها قد سهلت حل مشكلات صادفت من سبقنا،
وذكر قصة دالة على ذلك منها قصة «أحمس» كبير البنائين في مصر القديمة وما حصل معه عند بنائه
قصرًا جديدًا للملك من احتياج لقانون حساب المساحة لمعرفة عدد البلاط اللازم لتغطية أرضية القصر دون
أي زيادة أو نقص.
- المثلث قائم الزاوية :
وكيف استخدمه القدماء في البناء ، لتحديد أركان مبانيهم وحقولهم المربعة
والمستطيلة ذات الزوايا القائمة.
- القوى (الأس) للأعداد واستخدامها :
ذكر قصة يستدل فيها الطلبة على إمكانية تحقيق فوز أو نجاحات
عند تطبيق هذا القانون في حياتنا « ومن ذلك قصة الفتاة الذكية التي استطاعت الاستيلاء على ثروة أحد
الأغنياء مستخدمة قاعدة «القوى للأعداد» بطلبها أجرًا لعملها يبدأ بقرشين ، ثم يتضاعف هذا المبلغ كل
يوم بقبض مربع ما تأخذه في اليوم السابق وهكذا حتى آخر يوم.
تســليــه
حيث نستخدم القاعدة الرياضية لحل أحجية أو فك رموز لغز أو عرضه بصورة لعبة ذهنية
(استخدام اللعب كطريقة لتقريب المفاهيم وتثبيتها)
الأمثلة:
- لعبة المربعات السحرية.
- لعبة الكلمات المتقاطعة.
- فك رموز شفرة.
- تسلية مع الأرقام ، حيث يستخدم الطلبة عدة عمليات حسابية وقواعد رياضية بشكل متسلسل
للتوصل إلى علاقة بينهما أي باستخدام المتاهة، وخرائط المعرفة.
[ التطبيق العملي للقاعدة الرياضية ]
الأمثلة:
- استخدام الزاوية لقياس الارتفاعات
- استخدام قوانين المساحة لكي يحسب الطالب مساحة الأرض التي بنى عليها منزله
بالقياسات الحقيقية
- تصميم مدينة أو تنفيذ أدوات من المجسمات (مكعب، موشور، أسطوانة، متوازي مستطيلات).
- عالم الكسور واستخداماتها المختلفة.
- تطبيق عملي من الطالب لقياس المسافة أو السرعة أو تحديد الزمن كما هو في الحقيقة
باستخدام المقاييس المناسبة.
- استخدام الرسم البياني لعرض معلومات قام التلميذ بجمعها عن ظاهرة في المجتمع
أو في محيط مدرسته.
[ تنفيذ مشاريع صغيرة بأيدي الطلبة ومن واقعهم ]
وذلك بتنفيذ تصميم لمدينة من خلال دراستهم للمجسمات.
- تنفيذ مشروع تجاري صغير في محيط الزملاء أو لدعم عمل خيري.
- استخدام الأشكال الهندسية في تنفيذ عمل فني مبتكر أو إثبات تجربة علمية أو التوصل لاكتشاف
أو اختراع جديد مفيد للبشرية ومحافظ على سلامة البيئة.
[ ذكر الاكتشافات الرياضية في الكون وفي الطبيعة والموافقة لما ذكر في القرآن الكريم ]
اكتشف العلماء أن كثيرًا من سنن الكون تسير بقوانين رياضية ومن ذلك حركة الأرض، وحركة الشمس
وكثير من الظواهر الطبيعية.
وجاءت متوافقة مع القرآن في آيات عديدة ومنها النسبة المئوية لليابسة والماء بالنسبة للأرض،
وغيرها كثير.
إن من واجبنا كمسلمين اتجاه ديننا واتجاه أجيالنا القادمة بيان القدرة الإلهية المتمثلة
في خلق هذا الكون بهذه الدقة المتناهية والمعتمدة على القوانين الرياضية في كل شيء
والتي عبر عنها الخالق في كتابه العزيز بأعداد الكلمات والحروف والعبارات بصورة غاية
في الدقة والإبداع.
وبعد هذا تسألون لماذا نتعلم الرياضيات ؟!
اتمنـى الفـآئـدـه للجميــع
تعريف الرياضيات:
تعرف الرياضيات على انها دراسة البنية، الفضاء، و التغير، و بشكل عام على انها دراسة البنى المجردة
باستخدام المنطق و التدوين الرياضي. و بشكل أكثر عمومية، تعرف الرياضيات على انها دراسة الاعداد
و انماطها. البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود اصلها إلى العلوم الطبيعية ،
و خاصة الفيزياء.
تاريخ الرياضيات:
كان الكتبة البابليون منذ 3000سنة يمارسون كتابة الأعداد وحساب الفوائد ولاسيما في الأعمال التجارية
ببابل. وكانت الأعداد والعمليات الحسابية تدون فوق ألواح الصلصال بقلم من البوص المدبب. ثم توضع في
الفرن لتجف. وكانوا يعرفون الجمع والKUVAJS,PROC JE TO VOBRACENE<ضرب والطرح والقسمة.
ولم يكونوا يستخدمون فيها النظام العشري المتبع حاليا مما زادها صعوبة حيث كانوا يتبعون النظام الستيني
الذي يتكون من 60 رمزا للدلالة علي الأعداد من 1-60. وطور قدماء المصريين هذا النظام في مسح
الأراضي بعد كل فيضان لتقدير الضرائب. كما كانوا يتبعون النظام العشري وهو العد بالآحاد والعشرات
والمئات. لكنهم لم يعرفوا الصفر. لهذا كانوا يكتبون 500بوضع 5رموز يعبر كل رمز علي 100.
3) الخوارزمى:
نشأته:
انتقلت عائلته من مدينة خوارزم في خراسان إلى بغداد في العراق، انجز الخوارزمي معظم ابحاثه بين
عامي 813 و 833 في دار الحكمة، التي أسسها الخليفة المأمون. و نشر اعماله باللغة العربية،
التي كانت لغة العلم في ذلك العصر. ويسميه الطبري في تاريخه: محمد بن موسى الخوارزمي
المجوسي القطربلّي ، نسبة إلى قرية قُطْربُلّ من ضواحي بغداد. اللقب مجوسي يتناقض مع بدء
الخوارزمي لكتابه (الجبر والمقابلة) بالبسملة. وتجمع الموسوعات العلمية -كالموسوعة البريطانية[1]
وموسوعة مايكروسوفت إنكارتا[2] وموسوعة جامعة كولومبيا[3] وغيرها[4]- على أنه عربي،
في حين تشير مراجع أخرى إلى كونه فارسي الأصل[5].
الخوارزمي كعالم الرياضيات:
ابتكر الخوارزمي مفهوم الخوارزمية في الرياضيات و علم الحاسوب، (مما اعطاه لقب ابي علم الحاسوب
عند البعض)، حتى ان كلمة خوارزمية في العديد من اللغات (و منها algorithm بالانكليزية)
اشتقت من اسمه، بالاضافة لذلك، قام الخوارزمي باعمال هامة في حقول الجبر و المثلثات
والفلك و الجغرافية و رسم الخرائط. ادت اعماله المنهجية و المنطقية في حل المعادلات من
الدرجة الثانية إلى نشوء علم الجبر، حتى ان العلم اخذ اسمه من كتابه حساب الجبر
و المقابلة، الذي نشره عام 830، و انتقلت هذه الكلمة إلى العديد من اللغات (Algebra في الانكليزية).
أعمال الخوارزمى:
اعمال الخوارزمي الكبيرة في مجال الرياضيات كانت نتيجة لابحاثه الخاصة، الا انه قد انجز الكثير في
تجميع و تطوير المعلومات التي كانت موجودة مسبقا عند الاغريق و في الهند، فاعطاها طابعه الخاص
من الالتزام بالمنطق. بفضل الخوارزمي، يستخدم العالم الاعداد العربية التي غيرت و بشكل جذري
مفهومنا عن الاعداد، كما انه قذ ادخل مفهوم العدد صفر، الذي بدأت فكرته في الهند.
صحح الخوارزمي ابحاث العالم الاغريقي بطليموس Ptolemy في الجغرافية، معتمدا على ابحاثه الخاصة.
كما انه قد اشرف على عمل 70 جغرافيا لانجاز أول خريطة للعالم المعروف آنذاك.و من أشهر كتبه في
الجغرافيا كتاب (صورة الأرض). عندما اصبحت ابحاثه معروفة في أوروبا بعد ترجمتها إلى اللاتينية، كان
لها دور كبير في تقدم العلم في الغرب، عرف كتابه الخاص بالجبر اوروبة بهذا العلم و اصبح الكتاب الذي
يدرس في الجامعات الاوروبية عن الرياضيات حتى القرن السادس عشر، كتب الخوارزمي ايضا عن الساعة،
الإسطرلاب، و الساعة الشمسية.
تعتبر انجازات الخوارزمي في الرياضيات عظيمة، و لعبت دورا كبيرا في تقدم الرياضيات
و العلوم التي تعتمد عليها.
بعض فروع الرياضيات:
1) المنطق الرياضى.
2) نظرية المجموعات (الفئات)
3) الجبر.
4) نظرية الاعداد.
5) نظرية الزمر.
6) تفاضل و تكامل.
7) التحليل التوافقى.
8) التحليل الدالى
9) علم المثلثات
10) المنطق الضبابى.
11)التبولوجيا.
12) الهندسة الجبرية.
13) السيبرنيتيك
14) ميكانيكا الموانع.
15) نظرية الالعلب.
16) علم الاحتمالات و الاحصائيات.
17) نظرية الشواش.
الكمية:
عدد – عدد طبيعي – عدد صحيح – عدد كسري – عدد حقيقي – عدد عقدي – عدد فوق عقدي
– كواتيرنيون – اوكتونيون – سيدينيون – عدد فوق حقيقي – عدد حقيقي فائق – عدد ترتيبي –
عدد كمي – عدد بي – متوالية صحيحة – ثابت رياضي – أسماء الأعداد – اللانهاية –
الأساس (رياضيات)
التغير:
الحساب – علم الحسبان – الحسبان الشعاعي – التحليل الرياضي – معادلات تفاضلية –
جمل متحركة – نظرية الشواش – قائمة الدوال ( التوابع )
البنية:
جبر تجريدي – نظرية الأعداد – هندسة جبرية – نظرية المجموعات – مونويد – التحليل الرياضي
– التوبولوجيا – الجبر الخطي – نظرية المخططات – الجبر الشامل – نظرية الزمر – نظرية الترتيب –
نظرية القياس
العلاقات الفراغية:
توبولوجيا – هندسة – علم المثلثات – هندسة جبرية – هندسة تفاضلية – تبولوجيا تفاضلية –
توبولوجيا جبرية – جبر خطي – هندسة كسيرية
الرياضيات المتقطعة:
التوافقيات – نظرية المجموعات المبسطة – نظرية الحوسبة– علم التعمية
رياضيات تطبيقية:
الميكانيك – تحليل عددي – استمثال رياضي – احتمال – احصاء – رياضيات اقتصادية –
نظرية الألعاب – البيولوجيا الرياضية – علم التعمية – نظرية المعلومات – ميكانيك السوائل .
المبرهنات و الحدسيات الهامة:
نظرية فيثاغورث – مبرهنة فيرما الأخيرة – حدسية غولدباخ – حدسية التوأمين الأولية –
مبرهنة عدم الإكتمال لغودل – حدسية بوانكاريه – قطر كانتور – مبرهنة الألوان الأربعة –
قضية زورن المساعدة – هوية اويلر – أطروحة تشرش-تورينغ
فرضية ريمان – فرضية الإستمرارية – P=NP – مبرهنة الحد المركزية – المبرهنة الأساسية في التكامل
– المبرهنة الأساسية في الجبر – المبرهنة الأساسية في الحساب –
المبرهنة الأساسية في الهندسة الإسقاطية – مبرهنات تصنيف السطوح – مبرهنة غاوس-بونيت.
انظمة العد:
نظام العد : هو طريقة تعامل الانسان مع رسوم الارقام للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية
عليها .وانظمة العد المستخدمة في العالم اليوم تتنوع بحسب مجال استخدامها.
نظام التشفير الثنائي العشري:
النظام الاوسع انتشارا هو النظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات
بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلا الرقم 6 يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية ،
وقد تم ابتداع الصفر في مرحلة متأخرة نسبيا عن ابتداع الارقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير
عن خلو هذه الخانة من القيمة .
الشيفرات العددية Numerical Codes نظام التشفير الثنائي العشري Binary Coded Decimal
عندما نستخدم نظام العد الثنائي للتعبير عن القيم العددية يتضح أمامنا مزايا ومساوئ هذا النظام
فمثلا من مزايا نظام العد الثنائي 1- يتألف من رقمين فقط هما ( 0-1 ) 2- العلاقة المكتشفة
مابين الصفر والواحد كأعداد ثنائية و الصفر و الواحد كقيمة منطقية أما من مساوئه
1- تمثيل الرقم العشري بالرقم الثنائي يمكن أن يكون من أربع أو خمس خانات بينما يكون الرقم العشري
مكونا من خانتين فقط
2- عملية التحويل بين الأعداد العشرية والثنائية لا تتصف بالسهولة وللتغلب على هذه السيئة نلجأ
في كثير من الأحيان باستخدام نظام التشفير الثنائي العشري و هو العنوان الأساسي لهذا الموضوع
نظام التشفير الثنائي العشري BCD نستخدم في هذا النظام من التشفير أربعة أرقام ثنائية لتمثيل
كل رقم عشري أي
0101 5 0000 0 0110 6 0001 1 0111 7 0010 2 1000 8 0011 3 1001 9 0100 4
وعندما نريد أن نمثل عدد مكون من أكثر من رقم عشري نستخدم لكل عدد عشري تشفيرة ثنائية
ABCD وكمثال على ذلك العدد العشري 5706 باستخدام الشيفرة BCD العدد العشري 6 0 7 5
تشفيرهBCD 0110 0000 0111 0101 begin_of_the_skype_highlighting 0110 0000 0111 0101 end_of_the_skype_highlighting الشيفرة 0101011100000110 العدد العشري 8 8 9 1
تشفيرهBCD 0111 0111 1001 0001 الشيفرة 0001100101110111 وعلى الرغم من سهولة
التحويل من عشري إلى ثنائي واستخلاص العدد العشري من تشفيره BCD إلا أن هناك مساوئ
لهذا النظام
1- صعوبة إجراء العمليات الحسابية
2- استخدام عشرة تركيبات فقط من التركيبات الممكن تشكيلها من أربعة أرقام ثنائية
العمليات على الأعداد المشفرة في نظام BCD الجمع : حيث يتم جمع هذا النوع من الأعداد كل رقمين
على حدة أي الرقم الأول من العددين المجموعين يضافان إلى بعضهما وكذلك الثاني والثالث والرابع وهي
عملية بسيطة وتعطي النتيجة الصحيحة بشكل مباشر وسريع إذا كان الناتج أقل من عشرة وكمثال على ذلك
3= 0011 5 = 0101
+ 4 = 0100 + 4 = 0100
7 = 0111 9 = 1001
أما إذا كان الناتج أكبر من العدد العشري (9 ) فإن النتيجة التي نحصل عليها غير مقبولة لأن نظام
التشفير هذا لا يسمح بالقيم من( 10 ) وحتى ( 15 ) ضمن ناتج كل مجموعة حسابية فإننا غي هذه
الحالة نضيف الرقم الستة العشري وهو ( 0110 ) إلى الناتج الغير مقبول فتؤدي عملية الجمع هذه
إلى توليد منقول من المرتبة الأعلى فنحصل على الجواب الصحيح في نظام التشفير المذكور
17 = 10001 9 = 1001
+ 6 = 0110 + 8 = 1000 (17)BCD = 10111 17 = 10001 بإضافة الرقم ستة تحول الناتج الغير
مقبول في نظام التشفير إلى ناتج صحيح ومقبول ناتج غير مقبول وغير متوفر في نظام التشفير BCD
وتسمى هذه الستة العشرية في نظام التشفير BCD بالستة التصحيحية وتنتج لدينا الآن القاعدة
الأساسية لجمع الأعداد العشرية المشفرة ثنائياً وهي :
1- إضافة العددين وكأنهما عددين ثنائيين عاديين
2- إذا كان الناتج مؤلف من أربع خانات ومنحصر بين الصفر والتسعة يكون الناتج صحيحاً وموجوداً في نظام
التشفير BCD 3- إذا كان الناتج مؤلف من أربع خانات وأكبر من العدد تسعة العشري فإننا نضيف العدد ستة
العشري لنحصل على الناتج الصحيح والموجود في نظام التشفير BCD 4- إذا كان الناتج مؤلف من خمس
خانات أي تولد لدينا منقول فإننا أيضاً نضيف العدد ستة العشري لنحصل على الناتج الصحيح والموجود في
نظام التشفير BCD الضرب : ويتم في هذا النظام ضرب العددين على التوالي كما في النظام العشري أي
كل رقم من أرقام المضروب يضرب بكل رقم من أرقام المضروب به وتشكل كل عملية ضرب ناتجاً جزئياً فنقوم
بجمع النواتج الجزئية لنحصل على الإجابة الصحيحة والمقبولة حصراً مع العلم أن ضرب الواحد بالصفر يساوي
الصفر وضرب الصفر بالصفر يساوي الصفر أما ضرب الواحد بالواحد فيساوي واحد ملاحظة إن عملية الضرب
لا تولد منقول حتماً وكمثال على ذلك المضروب 1110 المضروب به 101 ×
النواتج الجزئية 1110 0000 1110 begin_of_the_skype_highlighting 1110 0000 1110 end_of_the_skype_highlighting الناتج النهائي 1000110
إن تنفيذ عملية الضرب أمر سهل ويعتمد على البدء بالخانة الأقل مرتبة وعلى إزاحة النواتج الجزئية المتتالية
عن بعضها بمقدار خانة واحدة إلى اليسار كما توضح في المثال والقيام بعملية جمع النواتج الجزئية بشكل
صحيح ومن الممكن أن يكون عدد خانات الناتج أكبر من عدد خانات المضروب أو المضروب به بمقدار واحد
على الأكثر . القسمة : تعتبر عملية القسمة في النظام الثنائي أو نظام التشفير BCD أكثر سهولة من
عملية القسمة في النظام العشري فإننا في النظام الثنائي نبحث عن إمكانية تنزيل المقسوم عليه تحت
الخانات الثلاثة الأولى منت المقسوم فإذا كان ذلك غير ممكناً فإننا نقوم بتنزيل المقسوم عليه تحت الأربع
خانات الأولى ولسنا بحاجة لتقدير النتيجة فهي إما صفر أو واحد وتستمر عملية القسمة كما تستمر عملية
القسمة في النظام العشري وكمثال على ذلك الناتج النهائي 11101… المقسوم 10010011 المقسوم
عليه 101
استمرار عملية القسمة 1000 101 100 101 111 101 الباقي 10.
أنظمة عد قديمة:
كان لدى الرومان نظام عدّ يعتمد على رسم تتابع من الاشكال ، تعبر في مجموعها عن عدد ما وليس
فيها استخدام للخانات او الصفر ، انظر الاعداد الرومانية. ونجح الهنود والمايا بالوصول إلى تقييم الارقام تبعا
لمراكزها في الخانات وقام الهنود بإيجاد رسم معين لكل رقم مما مكنهم من القيام بعمليات حسابية كبيرة
استحالت على غيرهم.
ولكن الهنود لم يعرفوا الصفر في بداية نظامهم ، فكان يضطرون لوضع علامة لتمييز العدد 408 عن 48 مثلا،
وقاموا بشغل الفراغ الضروري للعمليات الرياضية بدائرة او نقطة و اطلقوا عليه اسم الفراغ او الثقب ورسموه
على شكل دائرة او نقطة. ويبدو ان العرب هم من اعطوا الصفر قيمة حسابيّة بالرغم من ان الهنود كانوا قد
استخدموه كشكل للتمييز ،وابقى العرب على رسمه الهندي ، واوضح الخوارزمي في كتاباته دور الصفر
في عمليات الجمع والطرح مثل 75-35 = 40 فقال :"في عمليات الطرح ، اذا لم يكن هناك باق ،
نضع صفرا ولا نترك المكان خاليا حتى لا يحدث لبس بين خانة الآحاد وخانة العشرات".ويضيف
"إن الصفر يجب ان يكون عن يمين الرقم ، لان الصفر على يسار الاثنين مثلا 02 لا يغير من قيمتها
ولا يجعل منها عشرين" ونلاحظ ان الشعوب التي اخذت النظام العربي المطور عن النظام الهندي
قد نقلو هذا النظام حرفيا في طريقة كتابته اي من اليمين إلى اليسار وبعضهم حتى نظام قرائتها
كالالمان مثلا.
ومن الانظمة التي استخدمت ايضا انظمة تعتمد على تقسيم الاعداد إلى منازل من ستين
واخرى من 12 ، ومن الموروث الحضاري لهذه الانظمة نظام الوقت ، الدقائق والساعات المستخدم .
ويبدوا ان البابلين استخدموا نظاما ستينيا في كتابة ارقامهم التي كانت على الشكلين V و > تعبيرا عن
الواحد والعشرة ، ورسموهم في مجموعات يعبر تتابعها عن ضرب كل مجموعة إلى بستين مرفوعة
لقوة مقدارها ترتيب المجموعة ابتداء من الصفر ، تماما كما في النظام العشري الذي ابدلت فيه الخانات
بالمجموعات .
فلسفة الرياضيات:
الواقعية الرياضية أو الإفلاطونية:
تعتبر الواقعية الرياضية الكائنات الرياضية ذات وجود مستقل عن العقل الإنساني.
لذلك فإن مهمة الإنسان هو استكشاف هذا العالم الرياضي وليس اختراعه،
كما إن أي كائن ذكي مفترض في هذا الكون قادر على استكشاف هذا العالم الرياضي و سبر أغواره.
يطلق على هذه المدرسة اسم الإفلاطونية باعتبارها تماثل وجهة نظر أفلاطون من حيث إيمانه بعالم
المثل والأفكار، الذي يمثل لديه العالم الكلي اللامتغير، وما العالم اليومي الذي نعيش فيه
إلا مقاربات غير مكتملة لهذا العالم المثالي.
من المحتمل أن جذور فكرة أفلاطون تأتي من عند فيثاغورس الذي كان يؤمن هو وتلاميذه من
الفيثاغورسيين أن العالم مكون حرفيا من الأعداد. وعلى ما يبدو فإن هذه النظرة ذات جذور أعمق
في التاريخ لا يمكن تحديد بدايتها .
يعتبر العديد من علماء الرياضيات واقعيين رياضيين ، فهم يعتبرون أنفسهم مكتشفين يتجولون لرؤية روائع هذا
العالم الرياضي و ليس مخترعين لها . أمثلة هؤلاء كثر : مثل باول ايردوس و كورت غودل و الفيزيائي
الرياضي روجر بنروز . السبب النفسي وراء هذا الإعتقاد أنه من الصعب القبول أن شخصا ما يشغل نفسه
لفترة طويلة من الزمن ما لم يكن مقتنعا فعلا بوجوده . يؤمن غودل بنوع من الواقع الرياضي الموضوعي
يمكن إدراكه بطريقة مشابهة لإدراك الحواس . بعض المبادئ يمكن ان تعتبر صحيحة مباشرة لكن بعض
الحدسيات conjecture مثل فرضية الإستمرار continuum hypothesis لا يمكن البت فيها استنادا لهذه
المبادئ . لذلك يقترح غودل منهجية شبه تجريبية quasi-empirical methodology يمكن أن تؤمن تأكيدا
كافيا لإفتراض هذه الحدسية conjecture .
المشكلة الأساسية في وجهة النظر لاواقعية للرياضيات:
هي أين و كيف تتواجد هذه الكائنات الرياضية ؟ هل هي في عالم كامل الانفصال عن عالمنا تسيطر عليه
الكائنات الرياضية ؟ كيف لنا أن نتواصل مع ذلك العالم ونستكشف حقائقه ؟ يقدم كلا من أفلاطون قديما
و غودل حديثا إجابات لهذه الأسئلة لكن هذه الإجابات لا تبدو مقنعة للكثيرين.
الشكلية:
تقوم المدرسة الشكلية على فكرة أنه من الممكن التفكير بالعبارات الرياضية على أنها نتائج لقواعد
معالجة المقولات الأولية. فمثلا، الهندسة الإقليدية تعتبر مؤلفة من مقولات تدعى البديهيات (axioms).
بالإضافة إلى بعض قواعد الدلالة التي تسمح باستنباط مقولات جديدة من المقولات الأولى المعطاة.
وبما أنك قادر على البرهنة على مبرهنة فيثاغورس وحدك، فهذا يعني أنك قادر فعلا على إنشاء المقولة
التي تمثل هذه المبرهنة.
وفقا لبعض مذاهب الشكلية، فإن مسألة الموضوع في الرياضيات هي حرفيا الرموز المكتوبة ذاتها. وعندها
تصبح القضية لعبا بهذه الرموز ولا يهم ما هي نوع اللعبة فجميع الألعاب متكافئة ويمكنك أن تلعب أي واحدة
تختار، لكن هذه الرؤية لا تعطي حلولا للأسئلة الجوهرية: ما هي هذه الرموز الرياضية ؟ هل توجد حقا في
عالم تخيلي غير متغير ؟ ولماذا هي مفيدة في شرح العالم الواقعي ؟ هذه النظرة تحول الرياضيات
إلى مجرد فعالية بشرية متفوقة لعبتها الرموز والأرقام لكنها لا تقدم حلولا لذلك لم تلق انتشارا كبيرا.
تقول مدرسة ثانية من الشكلية بالاستنتاجية (deductivism)، فمبرهنة فيثاغورس في هذه الحالة لا تعود
حقيقة مطلقة إنما حقيقة نسبية: إذا نسبت معنى و حقيقة للمقولات الرياضية بحيث تصبح قواعد اللعبة
صحيحة، عندئذ عليك قبول المبرهنة أو أن التفسير الذي تعطيه للمبرهنة يجب أن يكون عبارة صحيحة.
(أي أن صحة العبارات الرياضية مرتبطة بصحة البدهيات الأساسية بشرط اعتماد قواعد
"لعبة" تحفظ هذه الصحة).
سؤال يتكرر على كل الاوقات ويصدر عن مختلف الأجيال مع اختلاف مستويات ذكائهم
حتى العالية منها وهو:
لماذا نتعلم الرياضيات ؟!
نحن نتدرب على حل التمارين والمسائل ورسم الهندسة... أين يمكننا تطبيقها ؟
وأين نستخدمها في المنزل ، في الطريق ، في الحديقة ، عند اللعب ؟ ما فائدة كذا وكذا وكذا... ؟
إن تعلم الرياضيات في مرحلة مبكرة أمر هام ، والأهم منه معرفة الحاجة الملحة لتعلمها
في هذه المرحلة وكيفية الاستفادة منها وتطبيقها حتى تكون عونًا ومساعدًا للطالب في حل
كثير مما يصادفه من أمور ويمكنه من إيجاد تفسير لأسباب حدوثه.
فقد استخدم الإنسان علم الحساب منذ الحضارة القديمة كطريقة لعد وتدوين كميات و
أعداد الحيوانات والمواشي التي يملكها حفاظًا على ممتلكاته من السرقة أو الضياع.
ومن هنا عرف الإنسان الرياضيات وبدء بتطويرها على مر الزمان حتى أصبحت من أهم العلوم
التي لا غنى عنها في كثير من مجالات الحياة المختلفة التي من أبرزها الدراسات العلمية
والاكتشافات بأنواعها، وتصميم المشروعات الصناعية وإجراء المعاملات التجارية والأسهم والبنوك.
هذا بالإضافة لاستخدامها على مستوى الفرد في الحياة اليومية التي من أبسطها التعرف على الوقت
أو تسوية دفتر الشيكات، واستخدامها في الطبخ والقيادة والخياطة والبستنة، وفي العديد من الهوايات
والألعاب الرياضية. ولقد أدت الرياضيات دورًا أساسيًا في تطوير التقنية الحديثة التي جعلت حياتنا أكثر
سهولة وعملنا أكثر يسرًا.
إن على الآباء أن يهتموا بتعليم أبناءهم ذلك ويحثونهم على دراسة الرياضيات كمادة عملية لا كمادة نظرية
بحتة (يجب حفظ قوانينها وقواعدها فقط) ونرشدهم إلى الطريقة التي يطبقونها بها ليعتادوها منذ الصغر،
ولا يشعروا بتلك الغربة بينهم وبين هذا العلم.
[ عرض أمثلة حية مشاهدة من بيئة الطلبة المحيطة بهم ]
الأمثلة:-
محاور التناظر بنوعيها بالنسبة للأشكال .
- الأشكال الهندسية بأنواعها
: بإحضار أدوات ذات أشكال هندسية مختلفة أو صور لمبانٍ في مدينة توضح
كيفية استخدام المهندسين لها في البناء واستخدام الحرفيين لها في صناعة الأدوات المختلفة .
- رسم المستقيمات المتوازية والمتعامدة : عرض خريطة لمخطط الطرق في مدينة ما وكيف أنه اعتمد
المهندسون على استخدام رسم الخطوط المستقيمة المتوازية لتمثيل الطرق ومستقيمات عمودية عليها
بمسافات متساوية لتمثيل الطرق الفرعية المتقاطعة معها بشكل عمودي واستخدام كلمة طريق موازٍ
عند الوصف.
[ ذكر فوائد استخدام القاعدة الرياضية أو المهارة لحل مشكلة أرقت من سبقنا أو تحقيق فوز ما ]
الأمثلة :
- قوانين المساحة : بيان الفوائد المرجوة منها وأنها قد سهلت حل مشكلات صادفت من سبقنا،
وذكر قصة دالة على ذلك منها قصة «أحمس» كبير البنائين في مصر القديمة وما حصل معه عند بنائه
قصرًا جديدًا للملك من احتياج لقانون حساب المساحة لمعرفة عدد البلاط اللازم لتغطية أرضية القصر دون
أي زيادة أو نقص.
- المثلث قائم الزاوية :
وكيف استخدمه القدماء في البناء ، لتحديد أركان مبانيهم وحقولهم المربعة
والمستطيلة ذات الزوايا القائمة.
- القوى (الأس) للأعداد واستخدامها :
ذكر قصة يستدل فيها الطلبة على إمكانية تحقيق فوز أو نجاحات
عند تطبيق هذا القانون في حياتنا « ومن ذلك قصة الفتاة الذكية التي استطاعت الاستيلاء على ثروة أحد
الأغنياء مستخدمة قاعدة «القوى للأعداد» بطلبها أجرًا لعملها يبدأ بقرشين ، ثم يتضاعف هذا المبلغ كل
يوم بقبض مربع ما تأخذه في اليوم السابق وهكذا حتى آخر يوم.
تســليــه
حيث نستخدم القاعدة الرياضية لحل أحجية أو فك رموز لغز أو عرضه بصورة لعبة ذهنية
(استخدام اللعب كطريقة لتقريب المفاهيم وتثبيتها)
الأمثلة:
- لعبة المربعات السحرية.
- لعبة الكلمات المتقاطعة.
- فك رموز شفرة.
- تسلية مع الأرقام ، حيث يستخدم الطلبة عدة عمليات حسابية وقواعد رياضية بشكل متسلسل
للتوصل إلى علاقة بينهما أي باستخدام المتاهة، وخرائط المعرفة.
[ التطبيق العملي للقاعدة الرياضية ]
الأمثلة:
- استخدام الزاوية لقياس الارتفاعات
- استخدام قوانين المساحة لكي يحسب الطالب مساحة الأرض التي بنى عليها منزله
بالقياسات الحقيقية
- تصميم مدينة أو تنفيذ أدوات من المجسمات (مكعب، موشور، أسطوانة، متوازي مستطيلات).
- عالم الكسور واستخداماتها المختلفة.
- تطبيق عملي من الطالب لقياس المسافة أو السرعة أو تحديد الزمن كما هو في الحقيقة
باستخدام المقاييس المناسبة.
- استخدام الرسم البياني لعرض معلومات قام التلميذ بجمعها عن ظاهرة في المجتمع
أو في محيط مدرسته.
[ تنفيذ مشاريع صغيرة بأيدي الطلبة ومن واقعهم ]
وذلك بتنفيذ تصميم لمدينة من خلال دراستهم للمجسمات.
- تنفيذ مشروع تجاري صغير في محيط الزملاء أو لدعم عمل خيري.
- استخدام الأشكال الهندسية في تنفيذ عمل فني مبتكر أو إثبات تجربة علمية أو التوصل لاكتشاف
أو اختراع جديد مفيد للبشرية ومحافظ على سلامة البيئة.
[ ذكر الاكتشافات الرياضية في الكون وفي الطبيعة والموافقة لما ذكر في القرآن الكريم ]
اكتشف العلماء أن كثيرًا من سنن الكون تسير بقوانين رياضية ومن ذلك حركة الأرض، وحركة الشمس
وكثير من الظواهر الطبيعية.
وجاءت متوافقة مع القرآن في آيات عديدة ومنها النسبة المئوية لليابسة والماء بالنسبة للأرض،
وغيرها كثير.
إن من واجبنا كمسلمين اتجاه ديننا واتجاه أجيالنا القادمة بيان القدرة الإلهية المتمثلة
في خلق هذا الكون بهذه الدقة المتناهية والمعتمدة على القوانين الرياضية في كل شيء
والتي عبر عنها الخالق في كتابه العزيز بأعداد الكلمات والحروف والعبارات بصورة غاية
في الدقة والإبداع.
وبعد هذا تسألون لماذا نتعلم الرياضيات ؟!
اتمنـى الفـآئـدـه للجميــع